论用数学长期战胜市场的可能性

凯利公式由 John R. Kelly, Jr. 于1956年提出（Kelly 1956）。它指出在一个期望收益为正的重复性赌局或者重复性投资中，每一期应该下注的最优比例。凯利公式在“拉斯维加斯”和“华尔街”久负盛名。很多数学天才将它在赌场和投资中发扬光大，取得了非凡的成就。这其中最著名的大概就是 Dr. Edward Thorp，他开辟了战胜 Blackjack（21 点）的策略，并使用凯利公式计算出来的比例进行下注（Thorp 1962）；玩转赌场后，Thorp 博士将它在统计学和概率论上的天赋用在投资中，他创建的 PNP 对冲基金曾在近 30 年内取得了年化 20% 以上的收益率（Thorp 2017）。此外，学术界也对凯利公式的各种数学性质以及实践应用进行了大量的研究，这些成果汇总于 MacLean 等人编辑的论文集 MacLean et al. Eds (2010) 中。

f* = p - q 就是最优的下注比例，它就是凯利公式。在上面的例子中，我们假设每局的赔率等于 1。更一般的，如果用 b 表示每局赔率，则凯利公式的一般形式为：f* = (b × p – q) / b。直白一点说，就是每次买入的最佳仓位为f*，b为你的模式的盈亏比，p表示你的模式的胜率。

按照 f* 比例而非其他比例下注有如下这两点颠覆性的优势（在数学上都被证明了，我们只需要牢记就行了）：

1. 随着局数 n 的增大，按照凯利公式 f* 下注的资金 X_n(f*) 将远远超过按照任何其他比例 f 下注的资金 X_n(f)；这里X_n(f)是你开仓n次以后的资金总量。

2. 对于任何给定的目标资金额 C，以凯利公式 f* 下注的策略超过该资金额所需要的期望时间（即期望局数）最少。

上述两点是按照凯利公式 f* 下注时，X_n 的重要性质。尤其是第一条，用白话来说，它的意思是只要我们一直玩下去（n 足够大），那么想赢得最多的钱（X_n 尽量大），那么就应该按照 f* 下注。事实上，当 n 小的时候，X_n(f*) 很有可能小于 X_n(f) —— 即凯利公式策略的资金额比不过其他下注比例的资金额。但只要 n 足够大，凯利公式一定会笑到最后，战胜其他任何比例。

数学上的问题解决了，我按照这个公式制作了固定胜率和盈亏比下最佳仓位对照表，如下图： 竖排黄色部分为盈亏比，一般的模式盈亏比应该大于1，等于1表示你的模式买入后赔钱和赢钱的多少是一样的，比如输钱输10个点，赢钱赢10个点。实际中操作中，大部分人的盈亏比应该在1到3之间。比如打首板，第二天赚3到6个点是正态分布的最高值，亏钱的话1到2个点是正态分布概率最高值。因为打板的都比较谨慎和敏感，打个板1到3个点不愿意出结果绿的瞬间就会割肉，3到6个点他们觉得这笔操作符合自己的预期。低开的话冲到-3到0轴是最佳心里接受区。其他的手法估计差不多都是这个盈亏比状态。
横排蓝色部分是胜率。大部分人的胜率在40到50之间，一些特别厉害的选手可能能到70，但是胜率高的选手必然盈亏比低。比较有代表性的就是低吸手法。专门去开仓趋势股，且涨幅较小的。所以胜率非常高，但是这些低吸标的一般波动都不会大，盈亏比自然不会太高。
根据这个表格。我们找一些知名选手看看实际情况。比如首板的@北京炒家，他的胜率根据他的截图是0.4，但是他的盈亏比非常高，经常打到连板，亏钱的时候割肉非常坚决，基本在-3以内割掉。所以，他的仓位单只达到满仓或者半仓，在行情好的时候胜率肯定不止0.4，盈亏比经常是3以上，能9个月10倍。但是如果他不改变仓位，还是高仓位运行，必然在行情差的时候，也就是自己胜率下降的时候出现大的回撤。最近这几个月的实盘也验证了这一点。所以他本能的降低了单只票的仓位。这是一个天才选手的交易本能。
既然Dr. Edward Thorp能战胜 Blackjack（21 点）。我们应该也能根据优化自己模式，使我们的模式胜率保持在50，（这个不过分吧，抛硬币也就这个胜率，只要你多花一点功夫，超过50的胜率应该问题不大），盈亏比尽量往大于1的方向发展。然后通过科学的仓位管理。长期看，理论上是可以战胜市场的。
那么接下来就涉及到模式的设计了。
一个方向是加快迭代，既然我们无法大比例提升盈亏比和胜率，就可以通过高频交易来加快凯利公式迭代从而缩短目标盈利周期，把仓位分散，每笔交易看做独立的一次凯利公式实验。最具代表性的就是清扬路，他每天都打回封首板和二板，把仓位极度分散，构建自己涨停指数。如果他的帖子没骗人，盈利曲线应该跟昨日首板指数趋同。一些高学历学院派的交易选手都趋向于这么做。
还有一个方向就是提升盈亏比和胜率，这个每个人模式不一样不好讨论。但是可以确定的是盈亏比比胜率更加重要。我现在自己做低吸模式，能够慢慢的努力把盈亏比控制在1.3以上，胜率控制在50到60之间，但由于样本时间太短，还需后续观察。从周宇前辈的帖子中他飞速增长时期胜率大概是50多一点，而他自己一直强调的目标是75。
自己做的低吸，根据这几个月的交易，自己盈亏比大概是1.5。胜率浮动在55到65之间。根据表格，最佳仓位是四分之一到三分之一。以后努力方向是稳定好自己的盈亏比和胜率，机械的执行固定仓位的交易就好。人是不可靠的，有情绪有欲望。要长期战胜市场得有数学规律做支撑，这样你才能知道你处于什么阶段，你要做什么，你做对了什么。自己的一点不成熟思考，供大家参考，有不对的地方，望指正。